Правильные многогранникиМногогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; 4) все его двугранные равны.
Примером правильного многогранника является куб: он является выпуклым многогранником, все его грани – равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все двугранные углы куба прямые.
Правильный тетраэдр также является правильным многогранником.
Возникает вопрос: сколько существует различных типов правильных многогранников? Пять типов правильных многогранников.
Рассмотрим произвольный правильный многогранник М, у которого В вершин, Р ребер и Г граней. По теореме Эйлера для этого многогранника выполняется равенство: В - Р + Г = 2. (1) Пусть каждая грань данного многогранника содержит m ребер (сторон), и в каждой вершине сходятся n ребер.
Очевидно,   (2) Так как у многогранника В вершин, и каждой из которых сходятся n ребер, то получаем n  ребер. Но любое ребро соединяет две вершины многогранника, поэтому в произведение n каждое ребро войдет дважды.
Значит у многогранника имеется  различных ребер. Тогда   В =  (3) Далее, в каждой грани многогранника М содержится m ребер, а число граней равно Г. Так как каждое ребро принадлежит двум смежным граням, то число различных ребер многогранника равно   (4) Из (1), (3), (4) получаем - Р + = 2, откуда  +  =  +  > (5) Таким образом, имеем  Из неравенств 3  и 3  следует, что гранями правильного многогранника могут быть либо правильные треугольники, либо правильные четырехугольники, либо правильные пятиугольники.
Причем в случаях m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 приходим к противоречию с условием  m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. Рассмотрим каждый из этих случаев, используя соотношения (5), (4) и (3). 1) m = n = 3 (каждая грань многогранника – правильный треугольник. Это – известный нам правильный тетраэдр («тетраэдр» означает четырехгранник). SHAPE * MERGEFORMAT  2) m = 4, n = 3 (каждая грань квадрат, и в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем  Р = 12; В =  8; Г =  6. Получаем правильный шестигранник, у которого каждая грань – квадрат. Этот многогранник называется правильным гексаэдром и является кубом («гексаэдр» -- шестигранник), любой параллелепипед – гексаэдр. SHAPE * MERGEFORMAT  3) m = 3, n = 4 (каждая грань –правильный треугольник, в каждой вершине сходятся четыре ребра). Имеем  Р = 12; В =   Получаем правильный восьмигранник, у которого каждая грань – правильный треугольник. Этот многогранник называется правильным октаэдром («октаэдр» -- восьмигранник). SHAPE * MERGEFORMAT  4) m = 5, n = 3 (каждая грань – правильный пятиугольник, в каждой вершине сходятся три ребра). Имеем:  Р = 30; В =   Получаем правильный двенадцатигранник, у которого каждая грань – правильный пятиугольник. Этот многогранник называется правильным додекаэдром («додекаэдр» -- двенадцатигранник). SHAPE * MERGEFORMAT  5) m = 3, n = 5 (каждая грань – правильный треугольник, в каждой вершине сходятся пять ребер). Имеем  Р = 30; В = Получаем правильный двадцатигранник. Этот многогранник называется правильным икосаэдром («икосаэдр» - двадцатигранник). SHAPE * MERGEFORMAT  Таким образом, мы получили следующую теорему. | |  | Теорема.
Существует пять различных ( с точностью до подобия) типов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр. К этому заключению можно прийти несколько иначе.
Действительно, если грань правильного многогранника – правильный треугольник, и в одной вершине сходятся k ребер, т.е. все плоский углы выпуклого k -гранного угла равны   k может принимать значения: 3;4;5. при этом Г =   В+  k ) = 12. Тогда при k = 3 получаем: В = 4, Г = 4 , Р = 6 (правильный тетраэдр); при k = 4 получаем: В = 6, Г = 8, Р = 12 (правильный октаэдр); при k = 5 получаем: В = 12, Г = 20, Р = 30 (правильный икосаэдр). Если грань правильного многогранника – правильный четырехугольник , то  k = 3. Тогда: Г =  , Р= - = 2 или  8, Г = 6, Р = 12 – мы получаем куб (правильный гексаэдр). Если гранью правильного многогранника является правильный пятиугольник, то  k = 3 и Г =   20, Г = 12, Р = 30 (правильный додекаэдр). Начиная с правильных шестиугольников, предположительно являющихся гранями правильного многогранника, плоские углы становятся не меньше  k = 3 их сумма становится не менее  На рисунках изображены разверстки каждого из пяти правильных многогранников.
Правильный тетраэдр  SHAPE * MERGEFORMAT  Правильный октаэдр         SHAPE * MERGEFORMAT  Правильный гексаэдр SHAPE * MERGEFORMAT  Правильный икосаэдр SHAPE * MERGEFORMAT  Правильный додекаэдр   SHAPE * MERGEFORMAT  Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице. | Вид грани | Плоский угол при вершине | Вид многогранного угла при вершине | Сумма плоских углов при вершине | В | Р | Г | Название многогранника | | Правильный треугольник | | 3-гранный |  | 4 | 6 | 4 | Правильный тетраэдр | | Правильный треугольник | | 4-гранный |  | 6 | 12 | 8 | Правильный октаэдр | | Правильный треугольник | | 5-гранный |  | 12 | 30 | 20 | Правильный икосаэдр | | Квадрат |  | 3-гранный |  | 8 | 12 | 6 | Правильный гексаэдр (куб) | | Правильный пятиугольник |  | 3-гранный |  | 20 | 30 | 12 | Правильный додекаэдр | У каждого из правильных многогранников, помимо уже указанных, нас чаще всего будут интересовать: 1. Величина его двугранного угла при ребре (при длине ребра a ). 2. Площадь его полной поверхности (при длине ребра a ). 3. Его объем (при длине ребра a ). 4. Радиус описанной около него сферы (при длине ребра a ). 5. Радиус вписанной в него сферы (при длине ребра a ). 6. Радиус сферы, касающихся всех его ребер (при длине ребра a ). Наиболее просто решается вопрос о вычислении площади полной поверхности правильного многогранника; она равна Г   одной грани.
Напомним, sin  =  , что дает нам возможность записать в радикалах: ctg   а) для площади грани правильного многогранника | Вид грани | Длина стороны | Длина апофемы грани | Площадь грани | | Правильный треугольник | a | 0 ,5  |  | | Квадрат | a | 0,5a |  | | Правильный пятиугольник | a |  |  | б) для площади полной поверхности правильного многогранника | Вид многогранника | Вид граней | Количество граней | Площадь полной поверхности | | Правильный тетраэдр | Правильный треугольник | 4 |  | | Правильный октаэдр | Правильный треугольник | 8 |   | | Правильный икосаэдр | Правильный треугольник | 20 |  | | Правильный гексаэдр (куб) | Квадрат | 6 | 6 a  | | Правильный додекаэдр | Правильный пятиугольник | 12 |  | Теперь перейдем к вычислению величины двугранного угла  правильного многогранника при его ребре. Для правильного тетраэдра и куба вы легко найдете величину этого угла. В правильном додекаэдре все плоские углы его граней равны cos  , откуда   На изображенном правильном октаэдре ABCDMF вы можете убедиться, что двугранный угол при ребре октаэдра равен 2 arctg  . M  F Для нахождения величины двугранного угла  при ребре правильного икосаэдра можно рассмотреть трехгранный угол ABCD при вершине А: его плоские углы ВАС и CAD равный , а третий плоский угол BAD , против которого лежит двугранный угол B ( AC ) D = , равен ( BCDMF – правильный пятиугольник). По теореме косинусов для трехгранного угла ABCD имеем:     при ребре икосаэдра равен   SHAPE * MERGEFORMAT  Итак, получаем следующую таблицу величин двугранных углов при ребрах правильных многогранников. | Вид многогранника | Величина двугранного угла при ребре | | Правильный тетраэдр |  | | Правильный октаэдр |  | | Правильный гексаэдр (куб) | | | Правильный додекаэдр |  | | Правильный икосаэдр |  | Прежде чем находить объем того или иного правильного многогранника, сначала проведем рассуждения о том, как можно найти объем правильных многогранников в общем виде.
| 
