Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристикиПреподаватель: Янукович Татьяна Петровна . Минск 2004 Колебания – такие процессы, при которых параметры, характеризующие состояние колебательной системы, повторяются с течением времени.
Например, колебания маятника в маятниковых часах, суточные колебания освещённости данного участка Земной поверхности и т.д.
Вынужденные колебания - колебания системы, возникающие под воздействием внешней вынуждающей силы.
Характер этих колебаний определяется как свойствами самой колебательной системы, так и внешней силой.
Обычно принимают, что внешняя периодическая сила изменяется по гармоническому закону   | | Рис. 1 Система с вынужденными колебаниями |  | | Рис. 2 Силы, действующие в системе | Рассмотрим колебательную систему, показанную на рисунке 1. Она состоит из горизонтального пружинного маятника и кривошипо-шатунного механизма.
Кривошипо-шатунный механизм - механизм, который преобразует вращательное движение в возвратно-поступательное. Тогда II -й закон Ньютона для данной системы запишется в виде:  | (1) | где  - масса тела,  – его ускорение,  - сила тяжести,  - сила реакции опоры,  - сила вязкого трения (   - внешняя вынуждающая сила,   В проекции на ось x :  | ( 2) | введём замены:    | (3) | Введём обозначения  (  – показатель затухания,  - коэффициент сопротивления),  (  – циклическая частота свободных колебаний системы в отсутствие трения),  – приведённая сила. Тогда можем переписать уравнение в общем виде:  | (4) | Уравнение (4) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, линейное, второй степени, неоднородное (с правой частью). Исследуем его. Как известно из теории дифференциальных уравнений, решением уравнения (4) является сумма двух решений: общего решения однородного уравнения соответствующего данному неоднородному и частного решение неоднородного уравнения в целом.
Однородное уравнение соответствующее данному неоднородному есть уравнение затухающих колебаний 1. 2. 3. 4. : a.  | (5) | Решением этого уравнения является функция:   | (6) | Частное решение неоднородного уравнения в целом будем искать следующим образом. Как показывает практика, не зависимо от начальных условий осциллятора через достаточно большой промежуток времени (время разгорания/релаксации) в системе установятся гармонические колебания с частотой вынуждающей силы  и амплитудой  | Различные случаи установления гармонических колебаний: |  |  | Рис. 3 Случай разгорания для  | Рис. 4 Произвольный случай разгорания | Здесь  – это время разгорания колебаний. Это значит, что через достаточно большой промежуток времени первым слагаемым можно пренебречь.
Действительно в (6) при    | (7) | где - амплитуда установившихся колебаний с частотой   - сдвиг фаз между смещением и фазой внешней силы.
Найдем, чему равны и при частоте внешней силы  | (8) |  | (9) | И подставим (7), (8), (9) в (4):  немного преобразуем :  и получим:    и  будут равны нулю:  Из этой системы найдем зависимость амплитуды установившихся колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы:  | (10) |  | (11) | Исследуем выражение (11) на экстремумы.
Очевидно, что амплитуда колебаний будет максимальной в том случае, если подкоренное выражение в (11) будет минимальным.
Обозначим   Таким образом, подкоренное выражение (и, соответственно, амплитуда колебаний) принимает экстремальное значение при:  и | (12) |  | (13) | Если производная  амплитуда – максимальной.
Вторая производная от подкоренного выражения равна:  Значение этой производной при равно  а при   Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при определённой частоте вынуждающей силы называется резонансом. Таким образом, резонансная частота равна  | (14) | Учитывая это значение, по (10) и (11) находим резонансные значения сдвига фаз и амплитуды колебаний:  | (15) |  | (16) | Из (15) и (16) видно, что при отсутствии трения (   Для вынужденных колебаний вводят, так называемые, амплитудо-частотные (зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы) и фазово-частотные (зависимость сдвига фаз от частоты вынуждающей силы) характеристики.
Графически эти зависимости при различных значениях приведены на рисунках 5 и 6:  |  | | Рис.5 Амплитудно-частотные характеристики | Рис.6 Фазово-частотные характеристики | Отметим здесь, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденных колебаний на величину  происходит скачком при  При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания по закону ( 7 ), ее энергия, очевидно, остается неизменной.
Однако при этом внешняя сила непрерывно совершает работу над системой. Иными словами, система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая, в конечном счете, диссипируется в тепло благодаря наличию трения. Пусть  обозначает количество энергии, поглощаемой системой в среднем в единицу времени, как функция частоты вынуждающей силы. Эта величина, как известно, равна работе внешней силы за единицу времени, то есть мощности (усредненной затем по времени):   | (17) | Отсюда, согласно уравнению движения,  | (18) | Здесь, в (17) и (18), символ обозначает работу. При усреднении по времени первое и третье слагаемые в этом выражении, будучи произведениями синуса на косинус, очевидно, дают нуль. В результате остается лишь вклад от второго слагаемого  | (19) | Подставляя сюда (8), получаем:  | (20) | Производя усреднение по времени, заметим, что второе слагаемое зануляется, поэтому:  | (21) | Подставляя сюда (11), получим:  | (22) | Исследуем это выражение на экстремумы.
Очевидно, что экстремальное значение оно примет при экстремальном значении знаменателя.
Производная от знаменателя обращается в нуль при  Вблизи резонанса  амплитуда определяется формулой (16). Введём величину    Таким образом:  | (23) | Такой вид зависимости поглощения от частотной расстройки относительно резонанса называют дисперсионным.
Полушириной резонансной кривой (см. рис. 7)  называется значение   уменьшается вдвое по сравнению с ее максимальным значением при   Рис. 7 Резонансная кивая поглощения Из формулы (23) следует, что в pассматpиваемом случае   | (24) | обратно пpопоpциональна резонансная кривая становится уже и выше, то есть ее максимум становится более острым.
Однако площадь под резонансной кривой остается при этом неизменной.
|
