Рефераты, курсовые, контрольные для студента!

 

Астрономия

Литература, Лингвистика

Страховое право

Уголовный процесс

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Экскурсии и туризм

Менеджмент (Теория управления и организации)

Компьютеры и периферийные устройства

Философия

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

История отечественного государства и права

Бухгалтерский учет

Искусство

Маркетинг, товароведение, реклама

Радиоэлектроника

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

История государства и права зарубежных стран

Психология, Общение, Человек

Банковское дело и кредитование

Историческая личность

Теория государства и права

Физкультура и Спорт

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Социология

Программное обеспечение

Биология

Культурология

Педагогика

Геодезия

Программирование, Базы данных

Международное право

Промышленность и Производство

Биржевое дело

Хозяйственное право

Медицина

Гражданское право

Право

Сельское хозяйство

Химия

Транспорт

Уголовное и уголовно-исполнительное право

Охрана природы, Экология, Природопользование

Физика

Музыка

География, Экономическая география

Математика

История

Муниципальное право России

Экономико-математическое моделирование

Ценные бумаги

Технология

Семейное право

Административное право

Искусство, Культура, Литература

Пищевые продукты

Компьютерные сети

Геология

Трудовое право

Иностранные языки

Здоровье

Юридическая психология

Москвоведение

Экономика и Финансы

Римское право

Гражданская оборона

Техника

Криминалистика и криминология

Конституционное (государственное) право зарубежных стран

Охрана правопорядка

Ветеринария

Военное дело

Налоговое право

Политология, Политистория

Экологическое право

История экономических учений

Религия

Компьютеры, Программирование

Прокурорский надзор

Космонавтика

Уголовное право

Физкультура и Спорт, Здоровье

Авиация

Металлургия

Архитектура

Правоохранительные органы

Конституционное (государственное) право России


Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики

Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики

Преподаватель: Янукович Татьяна Петровна . Минск 2004 Колебания – такие процессы, при которых параметры, характеризующие состояние колебательной системы, повторяются с течением времени.

Например, колебания маятника в маятниковых часах, суточные колебания освещённости данного участка Земной поверхности и т.д.

Вынужденные колебания - колебания системы, возникающие под воздействием внешней вынуждающей силы.

Характер этих колебаний определяется как свойствами самой колебательной системы, так и внешней силой.

Обычно принимают, что внешняя периодическая сила изменяется по гармоническому закону

Рис. 1 Система с вынужденными колебаниями
Рис. 2 Силы, действующие в системе
Рассмотрим колебательную систему, показанную на рисунке 1. Она состоит из горизонтального пружинного маятника и кривошипо-шатунного механизма.

Кривошипо-шатунный механизм - механизм, который преобразует вращательное движение в возвратно-поступательное. Тогда II -й закон Ньютона для данной системы запишется в виде:

(1)
где - масса тела, – его ускорение, - сила тяжести, - сила реакции опоры, - сила вязкого трения ( - внешняя вынуждающая сила, В проекции на ось x :
( 2)
введём замены:
(3)
Введём обозначения ( – показатель затухания, - коэффициент сопротивления), ( – циклическая частота свободных колебаний системы в отсутствие трения), – приведённая сила. Тогда можем переписать уравнение в общем виде:
(4)
Уравнение (4) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, линейное, второй степени, неоднородное (с правой частью). Исследуем его. Как известно из теории дифференциальных уравнений, решением уравнения (4) является сумма двух решений: общего решения однородного уравнения соответствующего данному неоднородному и частного решение неоднородного уравнения в целом.

Однородное уравнение соответствующее данному неоднородному есть уравнение затухающих колебаний 1. 2. 3. 4. : a.

(5)
Решением этого уравнения является функция:
(6)
Частное решение неоднородного уравнения в целом будем искать следующим образом. Как показывает практика, не зависимо от начальных условий осциллятора через достаточно большой промежуток времени (время разгорания/релаксации) в системе установятся гармонические колебания с частотой вынуждающей силы и амплитудой
Различные случаи установления гармонических колебаний:
Рис. 3 Случай разгорания для Рис. 4 Произвольный случай разгорания
Здесь – это время разгорания колебаний. Это значит, что через достаточно большой промежуток времени первым слагаемым можно пренебречь.

Действительно в (6) при

(7)
где - амплитуда установившихся колебаний с частотой - сдвиг фаз между смещением и фазой внешней силы.

Найдем, чему равны и при частоте внешней силы

(8)
(9)
И подставим (7), (8), (9) в (4): немного преобразуем : и получим: и будут равны нулю: Из этой системы найдем зависимость амплитуды установившихся колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы:
(10)
(11)
Исследуем выражение (11) на экстремумы.

Очевидно, что амплитуда колебаний будет максимальной в том случае, если подкоренное выражение в (11) будет минимальным.

Обозначим Таким образом, подкоренное выражение (и, соответственно, амплитуда колебаний) принимает экстремальное значение при:

и (12)
(13)
Если производная амплитуда – максимальной.

Вторая производная от подкоренного выражения равна: Значение этой производной при равно а при Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при определённой частоте вынуждающей силы называется резонансом. Таким образом, резонансная частота равна

(14)
Учитывая это значение, по (10) и (11) находим резонансные значения сдвига фаз и амплитуды колебаний:
(15)
(16)
Из (15) и (16) видно, что при отсутствии трения ( Для вынужденных колебаний вводят, так называемые, амплитудо-частотные (зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы) и фазово-частотные (зависимость сдвига фаз от частоты вынуждающей силы) характеристики.

Графически эти зависимости при различных значениях приведены на рисунках 5 и 6:

Рис.5 Амплитудно-частотные характеристики Рис.6 Фазово-частотные характеристики
Отметим здесь, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденных колебаний на величину происходит скачком при При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания по закону ( 7 ), ее энергия, очевидно, остается неизменной.

Однако при этом внешняя сила непрерывно совершает работу над системой. Иными словами, система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая, в конечном счете, диссипируется в тепло благодаря наличию трения. Пусть обозначает количество энергии, поглощаемой системой в среднем в единицу времени, как функция частоты вынуждающей силы. Эта величина, как известно, равна работе внешней силы за единицу времени, то есть мощности (усредненной затем по времени):

(17)
Отсюда, согласно уравнению движения,
(18)
Здесь, в (17) и (18), символ обозначает работу. При усреднении по времени первое и третье слагаемые в этом выражении, будучи произведениями синуса на косинус, очевидно, дают нуль. В результате остается лишь вклад от второго слагаемого
(19)
Подставляя сюда (8), получаем:
(20)
Производя усреднение по времени, заметим, что второе слагаемое зануляется, поэтому:
(21)
Подставляя сюда (11), получим:
(22)
Исследуем это выражение на экстремумы.

Очевидно, что экстремальное значение оно примет при экстремальном значении знаменателя.

Производная от знаменателя обращается в нуль при Вблизи резонанса амплитуда определяется формулой (16). Введём величину Таким образом:

(23)
Такой вид зависимости поглощения от частотной расстройки относительно резонанса называют дисперсионным.

Полушириной резонансной кривой (см. рис. 7) называется значение уменьшается вдвое по сравнению с ее максимальным значением при Рис. 7 Резонансная кивая поглощения Из формулы (23) следует, что в pассматpиваемом случае

(24)
обратно пpопоpциональна резонансная кривая становится уже и выше, то есть ее максимум становится более острым.

Однако площадь под резонансной кривой остается при этом неизменной.

независимая оценка автомобиля для наследства в Твери
оценка для нотариуса в Орле
оценка стоимости недвижимости в Калуге

Подобные работы

Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

echo "Граничные условия. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики. Пример. Приложение. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса. Список используемой литературы

Эффект Ганна

echo "Залежно від характеру цієї зміни, диференціальна провідність напівпровідника "; echo ''; echo " може виявитися як величиною позитивною, так і негативною. Перший випадок реалізується тоді, коли

Голография и ее применение

echo "Голография – метод получения объемного изображения объекта, путем регистрации и последующего восстановления, волн изобретенный английским физиком венгерского происхождения Д. Габором в 1948 г. В

Биография Генриха Герца

echo "Гельмгольц предложил Герцу задачу из области электродинамики: обладает ли ток кинетической энергией? Гельмгольц хотел направить силы Герца в область электродинамики, считая её наиболее запутанно

Тренажеры водо-водяных реакторов

echo "Содержание: Введение 3 Фирмы-изготовители 3 Техническое обучение операторов 3 Краткий обзор типов тренажеров 4 Учитываемые критерии 4 Физическая область 4

Лазеры

echo "Введение. Термину “лазер” нет ещё и десяти лет от роду, а кажется, что существует он давным-давно, - так широко он вошел в обиход. Разумеется, столь огромный интерес вызывает не само слово “ла

Законы сохранения в механике

echo "Обчислимо елементарну роботу сил, з якими ці частинки взаємодіють між собою. Нехай в довільній системі відліку в деякий момент часу розташування частинок визначається радіус векторами "; echo ''

Освещение в видеосъёмке

echo "Диапазон яркости, воспринимаемый человеческим глазом, значительно превосходит диапазон световой чувствительности любой камеры, и изображение, записанное на видеопленку, может существенно отличат

 
© 2011-2012, e